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Trayectoria de estado de un péndulo

Modelo dinámico

El modelo dinámico de un péndulo es muy simple. Asumiendo \(\mathbf x_0 = \theta\) y \(\mathbf x_1 = \dot \theta\), donde \(\theta\) es el ángulo del péndulo $$ \dot {\mathbf x}_0(t) = \mathbf x_1(t) \\ \dot {\mathbf x}_1(t) = \frac{1}{m}(-mg\sin(\mathbf x_0(t)) - b \mathbf x_1(t)) $$ Sorprendentemente, agregando las trayectorias de estado y asociándoles colores en función del estado inicial se obtiene un hermoso patrón en el espacio de estados. La imagen en formato vectorial de más calidad puede descargarse en pdf .

Visualización interactiva de la trayectoria de estado de un péndulo

Pulsando en la figura puedes ejecutar una aplicación javascript que hemos realizado utilizando Processing (más Processing.js para generar el código javascript) en la que se representa en tiempo real la trayectoria de estado de un péndulo con fricción viscosa, en función de su estado inicial de posición y velocidad angular determinado por el ratón.

Aunque el sistema es muy simple, su carácter no linal (hay una función seno en las ecuaciones) produce patrones interesantes en el espacio de estados.

La periodicidad horizontal refleja los distintos estados de equilibrio que puede tener un péndulo (tras haber dado una, dos, tres vueltas, etc.)