Regulación y Control de Máquinas Navales
Práctica6: Análisis frecuencial de sistemas en cadena abierta empleando Matlab

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Curso 2007-2008
I	Introducción
La práctica descrita en este documento pretende familiarizar al alumno con los conceptos estudiados en el Tema 4 del Módulo 2 de la asignatura. Al igual que en las prácticas previas, para usar las funciones aquí mencionadas se necesita Matlab® con el paquete de Control de Sistemas (Control System Toolbox).

II	respuesta de sistemas lineales e invariantes en el dominio de la frecuencia
La respuesta en frecuencia de los sistemas lineales e invariantes viene determinada por las propiedades de este tipo de sistemas. Así, se tendrá que la respuesta ante una entrada de tipo sinusoidal de una frecuencia determinada será una sinusoidal de la misma frecuencia que la entrada y cuya amplitud y fase vendrán determinadas por la respuesta dinámica del sistema. En el siguiente ejemplo se mostrará paso a paso como calcular la respuesta de un sistema ante una entrada de tipo sinusoidal utilizando Matlab.
Definir el sistema G1 utilizando el comando:
•	G=tf(num,den)
donde G será la variable que contendrá el objeto “sistema” (que además se mostrará por pantalla al realizar la asignación), y num y den son respectivamente los polinomios del numerador y del denominador de la función de transferencia en el formato de representación de polinomios de Matlab®. 

Calcular la transformada de laplace de la entrada U

U(t)=sin(2*pi*10*t)

Para ello se puede utilizar el comando laplace de Matlab, según el siguiente código
•	syms t;			% definir la variable ´t´ como simbólica
•	fu=10;			% frecuencia de la senoide en Hz
•	u_t=sin(2*pi*fu*t);	% señal de entrada en rad/s
•	u_s=laplace(u_t);	% transformada de laplace
Definir la función de transferencia de u_s utilizando de nuevo el comando tf. Almacenar el resultado en una variable llamada U.

Calcular la respuesta del sistema, Y, para la entrada U. La manera más sencilla de obtener dicha respuesta es mediante la multiplicación de las funciones de transferencia del sistema (G1) y la entrada (U).

Calcular la respuesta a impulso de la salida del sistema utilizando el comando impulse.
•	[y_t,t]=impulse(Y);

Representar en dos subfiguras de la misma gráfica la entrada (U) y la salida (Y) en función del tiempo. Utilizar el comando subplot para hacer las subfiguras. El resultado debería ser similar al mostrado en la figura 1.

Figura 1 respuesta a entrada sinusoidal

Representar empleando lsim estas dos ondas en una misma figura.

•	figure;			% definir la variable ´t´ como simbólica
•	t2=0:0.001:2;		% base de tiempo
•	u_t2=sin(2*pi*fu*t2);	% señal de entrada en rad/s
•	lsim(G1,u_t2,t2);

Figura 2 respuesta a entrada sinusoidal

 Responder a las siguientes cuestiones:
•	¿Qué ocurre si cambiamos la frecuencia de la señal de entrada?
•	¿Qué ocurre si cambiamos la ganancia del sistema?, ¿Es posible que la amplitud de la salida sea igual a la de la entrada?
•	¿A qué se debe la componente transitoria que desaparece pasados unos 4s?, ¿Se puede cambiar la duración del transitorio?
•	¿Tienen las oscilaciones de la salida y la entrada la misma fase?
•	¿Qué ocurre si el denominador de la función de transferencia pasa de ser [1 1] a [1 10]?

III	diagrama de bode
Cómo se ha visto en el punto anterior, la respuesta de un sistema lineal e invariante ante una sinusoidal es otra sinusoidal de la misma frecuencia y diferente amplitud y fase. Si se quiere calcular la respuesta para diferentes frecuencias de entrada, se puede repetir el proceso anterior, midiendo la magnitud y la fase para cada una de las señales entrada. Dado que este proceso sería muy tedioso, es posible representar la respuesta de un sistema ante diferentes frecuencias mediante el diagrama de bode. Para realizar el diagrama de bode, Matlab® dispone del comando bode. Su forma de uso más simple es:
•	bode(tf) ó bode(num,den)

donde tf es una función de transferencia y num, den el numerador y el denominador de la función de transferencia cuyo diagrama de bode se quiere representar.

 Crear el diagrama de bode del sistema G1 del apartado anterior y representarlo en una gráfica. La representación debería de ser la mostrada en Figura 2

Figura 3 Diagrama de bode
 Responder a las siguientes cuestiones:
•	¿Cuál es el valor de la magnitud para la señal de entrada del punto uno de la práctica?, ¿Coincide con el calculado por el primer método?
•	¿Cuál es el valor de la fase?
•	¿Para que valor de frecuencia la magnitud de la entrada se atenúa entre 10?

IV	Respuesta en frecuencia de sistemas de orden superior
La respuesta en frecuencia de sistemas de orden superior (mayor que uno) presenta algunas características singulares que pueden ser medidas utilizando el diagrama de bode. Entre las más interesantes se encuentra la frecuencia de resonancia. La frecuencia de resonancia, en caso de existir, representa la frecuencia para la cual se produce un aumento en la magnitud de la respuesta del sistema. 
NOTA: Para medir exactamente los valores sobre el diagrama de bode, Matlab® dispone de una herramienta gráfica. Para ello pulsar con el botón derecho sobre la gráfica y seleccionar Peak Response de la entrada Characteristics.
 Calcular el diagrama de bode para el sistema G2. 

 Utilizando la fórmula general de un sistema de orden 2, vista en la práctica 2 y repetida aquí

donde,
k	ganancia	
t	constante de tiempo	
x	constante de amortiguamiento	
wn	frecuencia natural	

 Responder a las siguientes cuestiones:
•	¿Qué ocurre si disminuimos el valor del coeficiente de amortiguamiento a valor de 0.1?. ¿Y si lo anulamos?
•	¿Qué ocurre cuando aumentamos el valor de la frecuencia natural?
•	¿Qué ocurre cuando cambiamos el valor de la ganancia?
•	Representar de manera simultánea la respuesta a escalón del sistema utilizando el comando step. Intenta relacionar los resultados.
•	Representad la salida del sistema G2 cuando es excitado con una senoide de amplitud 2 y frecuencia 1 Hz . Dibujad en una misma gráfica ambas señales. Cual es la expresión matemática de la salida del sistema G2 frente a esta señal de entrada.
•	Representad la salida del sistema G2 cuando es excitado con una senoide de amplitud 1 y frecuencia 5 Hz . Dibujad en una misma gráfica ambas señales. Cual es la expresión matemática de la salida del sistema G2 frente a esta señal de entrada.
•	Representad la salida del sistema G2 cuando es excitado con una señal suma de las dos senoides anteriores. Dibujad en una misma gráfica la salida y la señal de entrada. Cual es la expresión matemática de la salida del sistema G2 frente a esta señal de entrada.