Modelado experimental de sistemas dinámicos

Introducción

Esta práctica, inspirada en varias del curso Modeling Dynamics and Control, impartido en el MIT, tiene como objetivo obtener un modelo experimental de un sistema dinámico sencillo. El procedimiento a seguir consistirá en capturar un vídeo del sistema en movimiento, registrar en un gráfico la evolución de la variable de salida y extraer los parámetros característicos (ganancia, constante de tiempo, tiempo de pico, sobreoscilación, etc.) para obtener un modelo aproximado de primer o segundo orden.

Construcción práctica del sistema dinámico

Los alumnos, en grupos de 3 ó 4 deberán construir un sistema dinámico sencillo, empleando elementos cotidianos. El sistema que se construya deberá reunir algunos requisitos:

• Debe tener una dinámica suficientemente lenta como para que una webcam sencilla pueda registrar su evolución sin perder detalles esenciales. Si es un sistema que tenga un comportamiento oscilatorio, (por ejemplo, un sistema masa-muelle) la frecuencia de las oscilaciones no deberá ser mayor de 2 o 3 Hz.

• Debe poderse filmar fácilmente con una webcam. Esto afecta, por ejemplo, al tamaño del sistema (no debe ser ni muy grande ni muy pequeño). La variable de salida del sistema deberá ser bien visible, para poder ser fácilmente registrada en un video para poder ser luego registrada en un gráfico tiempo-variable a partir del examen fotograma a fotograma de la película.

• El sistema diseñado debe contar con elementos de referencia para poder hacer las medidas. Por ejemplo, una regla si la salida del sistema es un desplazamiento lineal (ej. un sistema masa-muelle lineal), o un transportador de ángulos si la salida es un ángulo (ej. un péndulo). También puede imprimirse una hoja de papel con marcas "a medida" y hacer evolucionar el sistema con el papel al lado. Para tener una referencia temporal es útil incorporar a la escena un cronómetro (fácil de encontrar en un reloj de pulsera, un móvil, etc.).

• Puede ser también interesante utilizar algún tipo de soporte (pizarra de corcho, atril, etc.).

Obtener un video con una webcam

Vídeo de ejemplo (pinchar aquí para verlo)

Una vez construido, los alumnos deberán filmar un vídeo del sistema en funcionamiento. Es muy importante preparar bien el vídeo para que el registro de los datos sea lo más fiel posible. Algunas recomendaciones:

• Tener buena iluminación, evitar reflejos, etc.
• Orientar correctamente la cámara. Nótese que, por ejemplo, una perspectiva oblicua puede distorsionar la medida de los ángulos.
• Intentar que el sistema ocupe la mayor parte de la imagen. Con esto se aprovecha al máximo la resolución de la webcam, mejorando la precisión de las medidas.
• Aunque muchos reproductores de video incorporan el instante de tiempo de cada fotograma, muchos marcan sólo los segundos, y no las décimas o las centésimas. Puede ser interesante incorporar un reloj con cronómetro a la escena, de manera que para cada fotograma siempre exista una referencia temporal del momento en el que se tomó.

En el caso de problemas para reproducir el video en el enlace de la derecha, también está disponible en YouTube.

Toma de datos a partir del vídeo

Una vez grabado el vídeo, los alumnos lo reproducirán fotograma a fotograma. Si el video está bien pensado cada fotograma i contendrá la siguiente información

• Instante de tiempo al que corresponde, t_i. El instante de tiempo puede obtenerse, bien del propio reproductor, o bien de un reloj-cronómetro que haya podido añadirse a la escena.
• Valor de la variable de salida y_i. Si en el video se ha incluido algún elemento de referencia (una regla, un papel impreso milimetrado o con marcas angulares...) será posible obtener a partir de la imagen el valor de la salida (posición, angulo,...).

Con la información que dan las variables (t_i,y_i), es ya posible obtener un gráfico, bien en papel o mejor aún en el PC. Con Matlab es muy fácil hacer una gráfica a partir de los datos:

figure(1);
t_i = [0.11 0.21 0.32 0.44 0.56 0.63 0.73 0.82 0.93 1.01 1.12],
y_i = [1.52 1.15 0.85 0.66 0.53 0.41 0.31 0.22 0.16 0.12 0.1],
plot(t_i,y_i,'b.-');
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Posición (cm)');
title('Evolución temporal de la posición')
grid on;

Obtención del modelo matemático aproximado

Identificación de un sistema de primer orden a partir de la respuesta al escalón

Identificación de un sistema de segundo orden a partir de la respuesta al escalón

Una vez obtenida la gráfica se procederá a obtener un modelo matemático aproximado. En primer lugar se determinará el orden del modelo que mejor defina al sistema (primer o segundo orden). El orden puede conocerse directamente, si se conocen las ecuaciones. Si no se conoce el orden, puede hacerse una conjetura a partir del aspecto de la señal temporal (ej. si tiene oscilaciones, elegir un segundo orden) y tratar de ajustarlo.

Elegido el orden, se comparará la respuesta del sistema con la respuesta teórica del modelo elegido ante el mismo tipo de excitación. Para ello se mide sobre la gráfica experimental los parámetros característicos de la gráfica teórica y a partir de ellos se obtiene la función de transferencia. Para el caso de una excitación de tipo escalón, por ejemplo

Sistema de primer orden

Basta con medir la ganancia K y la constante de tiempo T y cotejar la respuesta al escalón experimental con la teórica según la siguiente figura

Sistema de segundo orden

Midiendo sobre la gráfica la sobreoscilación M_p el tiempo de pico t_p y la ganancia estática del sistema K es posible identificarlo cotejando la respuesta experimental con la teórica según la figura adjunta

Validación del modelo obtenido con los datos experimentales

Una vez obtenido el modelo es interesante validarlo con los datos experimentales. La idea consiste en simular el modelo obtenido en las mismas condiciones a las que fue obtenido el sistema y comparar ambas respuestas. Si los datos experimentales han sido introducidos en variables de Matlab, es muy fácil cotejar ambas respuestas superponiéndolos en la misma figura.

 figure(1);
 t_i = [0.11 0.21 0.32 0.44 0.56 0.63 0.73 0.82 0.93 1.01 1.12],
 y_i = [1.52 1.15 0.85 0.66 0.53 0.41 0.31 0.22 0.16 0.12 0.1],
 num = 0.6; 
 den = [0.4 1]; 
 t = linspace(0,2,1000); 
 y = impulse(num,den,t)';
 plot(t_i,y_i,'.-',t+0.1,y); 
 legend('Datos experimentales','Modelo'); 
 grid on;

Tareas a realizar

Desarrollo de la práctica

Los alumnos realizarán en grupos de 3 la práctica durante los días previos a las fechas para las que está planificada. De manera orientativa, esta etapa conlleva las siguientes tareas:

• Elegir, diseñar y probar sus prototipos.
• Elaborar un patrón de referencia (con ángulos o con marcas milimetradas, según proceda) que permita medir sobre la imagen del vídeo.
• Realizar la captura de vídeo del prototipo en funcionamiento con una webcam, cámara digital o cámara de vídeo.
• Obtener a partir del vídeo las medidas experimentales y elaborar la gráfica a mano o, mejor aún, mediante Matlab
• Suponer un comportamiento como sistema de primer o segundo orden y hacer los cálculos para ajustar el modelo según se explica arriba.
• Simular el modelo en Matlab/Simulink y cotejar los resultados de la simulación con los experimentales.
• De forma opcional, además, se puede intentar cotejar el modelo experimental con un modelo teórico elaborado a partir de las leyes físicas:

Elaborar un modelo teórico a partir de las ecuaciones físicas del sistema

Linealizarlo y simplificarlo hasta convertirlo en uno sencillo (de primer o segundo orden) expresado en función de los parámetros físicos desconocidos del sistema (por ejemplo, coeficientes de fricción, etc.)

Cotejar el modelo teórico simplificado con el modelo experimental del mismo orden obtenido en las etapas anteriores para obtener los valores de los parámetros físicos

• IMPORTANTE: conviene realizar con suficiente antelación un ensayo de presentación en un ordenador de la sala de prácticas correspondiente para comprobar que no existe alguno de los frecuentes problemas por diferencias de versiones de Powerpoint o Matlab/Simulink respecto al ordenador en el que fue desarrollado el trabajo. También es muy posible que no esté instalado en los ordenadores de prácticas el codec necesario para reproducir el vídeo, por lo que es importante probarlo también. Una posible solución a este problema es subir el video a YouTube, lo cual permite reproducirlo en los ordenadores de prácticas. ACTUALIZACIÓN: Se encuentra disponible en el ordenador del profesor (en el que se va a realizar la presentación con el cañón) el reproductor multimedia VLC, que permite reproducir muchos formatos comunes. Se recomienda su instalación en el ordenador en el que se desarrolle la práctica para probar que la reproducción del vídeo es correcta. Por otra parte, las versiones instaladas en el mismo ordenador del resto de aplicaciones típicamente necesarias son: Matlab 6.1/Simulink 4.1 (R12.1), visor de MS Word 97, visor de MS Excel 97 y visor de PowerPoint 2007.

Durante este periodo, los alumnos pueden pedir orientación o consultar cualquier duda razonable que tengan con los profesores, que trataremos de ayudar y orientar en la medida de lo posible para llevar a cabo la práctica.

El día de la práctica

El día de la práctica (consultar el calendario en la página Organización de las prácticas), los alumnos vendrán con su prototipo y dispondrán de 15 minutos para explicar lo que han hecho y cómo lo han hecho. La exposición constará de lo siguiente:

• Demostración del prototipo. Los alumnos deberán enseñar a sus compañeros el prototipo que han desarrollado y explicar cómo se construyó (materiales y métodos)
• Presentación en PowerPoint. Pueden contar brevemente (no es imprescindible meterlo todo):

Por qué han elegido el prototipo.

Proyectar el vídeo y explicar cómo lo han preparado.

Mostrar las gráficas explicando cómo las han elaborado a partir del vídeo

Explicar muy brevemente cómo han hecho los cálculos

Mostrar y comentar los resultados obtenidos (enseñar las simulaciones que hayan hecho, comentar grado de ajuste de la simulación a los datos experimentales, etc.).

Aproximadamente lleva 1 minuto explicar una diapositiva, por lo que se aconseja no superar las 7-8 diapositivas.

Informe impreso

El día de la presentación, los alumnos, por grupos, deberán entregar un informe impreso de no más de 5 páginas que resuma todo el proceso, incluyendo:

• Descripción del prototipo desarrollado
• Datos experimentales. Incluir los datos experimentales obtenidos mediante una tabla y/o una gráfica obtenida a partir de los datos experimentales tomados a partir del vídeo, así como los parámetros que se han medido sobre ésta para ajustar el modelo
• Obtención del modelo aproximado, incluyendo una justificación (dos o tres líneas) de la elección del tipo de modelo (primer o segundo orden) y los cálculos realizados para la obtención de la función de transferencia
• Simulación del modelo. Incluir aquí una gráfica temporal obtenida a partir de la simulación del modelo aproximado en condiciones similares a las del experimento.

Dicho informe deberá cumplir unas Normas de presentación de informes.

Bibliografía y enlaces

• Franklin et al. Feedback Control of Dynamic Systems, 5º edición. Ed. Prentice Hall, ver Sección 3.8 (pp. 139-141) "Obtaining Models from Experimental Data"
• Cursos abiertos del MIT (Massachussets Institute of Technology).
  • Curso: Modelling Dynamics and Control. Lab1. 1st-order Spring-damper System
  • Curso: Modelling Dynamics and Control. Lab2. Rotational 1st-order Inertia/Damper System