Ver el código fuente de «Ejercicio del martes 4 de Marzo de 2008 (Linealización)»

1- Linealizar el sistema dado por las ecuaciones (1) y (2) y sacar la función de transferencia <math>\frac{\theta(s)}{T(s)}</math>.

<math>T(t) = J\frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + B \omega^2(t)</math>      (1)

<math>\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}</math>      (2)

donde J = 1, B = 1 y el punto de equilibrio viene dado por <math>\omega_0 =</math>{última cifra del DNI}.

----
Solución:

Linealizamos la primera ecuación:

<math>\Delta T(t) = J\frac{d^2\Delta\theta(t)}{dt^2} + 2 B \omega_0 \Delta\omega(t)</math>      (1')

La segunda ecuación ya es lineal:

<math>\Delta\omega(t) = \frac{d\Delta\theta(t)}{dt}</math>      (2')

Pasando ambas ecuaciones a transformadas de Laplace:

<math> T(s) = J s^2 \theta(s) + 2 B \omega_0 \omega(s)</math>      (3)

<math>\omega(s) = s \theta(s)</math>      (4)

A partir de (3):

<math> \frac{\omega(s)}{T(s)} = \frac{1}{J s  + 2 B \omega_0 }</math>      (5)

A partir de (4):

<math> \frac{\theta(s)}{\omega(s)} = \frac{1}{s}</math>      (6)

Combinando (5) y (6):

<math> \frac{\theta(s)}{T(s)} = \frac{1}{s (J s  + 2 B \omega_0) }</math> (7)

Por ejemplo, para un DNI finalizado en 4, la solución sería:

<math>\frac{\theta(s)}{T(s)} = \frac{1}{s (s  + 8) }</math> (8)

----
2- Linealizar la ecuación (1) en el punto de equilibrio dado por <math>x_0 = \pi/2</math>:

<math> y(t) + 6\frac{dy(t)}{dt} + 0.1 = cos(x(t))</math> (1)

----
Solución:

<math> \Delta y(t) + 6\frac{d\Delta y(t)}{dt}  = -sen(x_0)\Delta x(t)</math> (1')

Como <math>sen(x_0) = 1 </math>:

<math> \Delta y(t) + 6\frac{d\Delta y(t)}{dt}  = -\Delta x(t)</math> (2)