Ejercicio del martes 4 de Marzo de 2008 (Linealización)

De ISAwiki
(Diferencia entre revisiones)
m
 
Línea 1: Línea 1:
 
1- Linealizar el sistema dado por las ecuaciones (1) y (2) y sacar la función de transferencia <math>\frac{\theta(s)}{T(s)}</math>.
 
1- Linealizar el sistema dado por las ecuaciones (1) y (2) y sacar la función de transferencia <math>\frac{\theta(s)}{T(s)}</math>.
  
<math>T(t) = J\frac{d\theta(t)}{dt} + B \omega^2(t)</math>      (1)
+
<math>T(t) = J\frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + B \omega^2(t)</math>      (1)
  
 
<math>\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}</math>      (2)
 
<math>\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}</math>      (2)
Línea 12: Línea 12:
 
Linealizamos la primera ecuación:
 
Linealizamos la primera ecuación:
  
<math>\Delta T(t) = J\frac{d\Delta\theta(t)}{dt} + 2 B \omega_0 \Delta\omega(t)</math>      (1')
+
<math>\Delta T(t) = J\frac{d^2\Delta\theta(t)}{dt^2} + 2 B \omega_0 \Delta\omega(t)</math>      (1')
  
 
La segunda ecuación ya es lineal:
 
La segunda ecuación ya es lineal:
Línea 20: Línea 20:
 
Pasando ambas ecuaciones a transformadas de Laplace:
 
Pasando ambas ecuaciones a transformadas de Laplace:
  
<math> T(s) = J s \theta(s) + 2 B \omega_0 \omega(s)</math>      (3)
+
<math> T(s) = J s^2 \theta(s) + 2 B \omega_0 \omega(s)</math>      (3)
  
 
<math>\omega(s) = s \theta(s)</math>      (4)
 
<math>\omega(s) = s \theta(s)</math>      (4)

Última revisión de 13:46 16 mar 2009

1- Linealizar el sistema dado por las ecuaciones (1) y (2) y sacar la función de transferencia \frac{\theta(s)}{T(s)}.

T(t) = J\frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + B \omega^2(t) (1)

\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt} (2)

donde J = 1, B = 1 y el punto de equilibrio viene dado por ω0 = {última cifra del DNI}.


Solución:

Linealizamos la primera ecuación:

\Delta T(t) = J\frac{d^2\Delta\theta(t)}{dt^2} + 2 B \omega_0 \Delta\omega(t) (1')

La segunda ecuación ya es lineal:

\Delta\omega(t) = \frac{d\Delta\theta(t)}{dt} (2')

Pasando ambas ecuaciones a transformadas de Laplace:

T(s) = Js2θ(s) + 2Bω0ω(s) (3)

ω(s) = sθ(s) (4)

A partir de (3):

 \frac{\omega(s)}{T(s)} = \frac{1}{J s  + 2 B \omega_0 } (5)

A partir de (4):

 \frac{\theta(s)}{\omega(s)} = \frac{1}{s} (6)

Combinando (5) y (6):

 \frac{\theta(s)}{T(s)} = \frac{1}{s (J s  + 2 B \omega_0) } (7)

Por ejemplo, para un DNI finalizado en 4, la solución sería:

\frac{\theta(s)}{T(s)} = \frac{1}{s (s  + 8) } (8)


2- Linealizar la ecuación (1) en el punto de equilibrio dado por x0 = π / 2:

 y(t) + 6\frac{dy(t)}{dt} + 0.1 = cos(x(t)) (1)


Solución:

 \Delta y(t) + 6\frac{d\Delta y(t)}{dt}  = -sen(x_0)\Delta x(t) (1')

Como sen(x0) = 1:

 \Delta y(t) + 6\frac{d\Delta y(t)}{dt}  = -\Delta x(t) (2)

Herramientas personales
Espacios de nombres

Variantes
Acciones
Navegación
Tipos de páginas
Bloques temáticos
Herramientas