Modelado experimental de sistemas dinámicos
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Introducción
Esta práctica tiene como objetivo obtener un modelo experimental de un sistema dinámico sencillo. El procedimiento a seguir consistirá en capturar un vídeo del sistema en movimiento, registrar en un gráfico la evolución de la variable de salida y extraer los parámetros característicos (ganancia, constante de tiempo, tiempo de pico, sobreoscilación, etc.) para obtener un modelo aproximado de primer o segundo orden.
Construcción práctica del sistema dinámico
Los alumnos, en grupos de 3 ó 4 deberán construir un sistema dinámico sencillo, empleando elementos cotidianos. El sistema que se construya deberá reunir algunos requisitos:
- Debe tener una dinámica suficientemente lenta como para que una webcam sencilla pueda registrar su evolución sin perder detalles esenciales. Si es un sistema que tenga un comportamiento oscilatorio, (por ejemplo, un sistema masa-muelle) la frecuencia de las oscilaciones no deberá ser mayor de 2 o 3 Hz.
- Debe poderse filmar fácilmente con una webcam. Esto afecta, por ejemplo, al tamaño del sistema (no debe ser ni muy grande ni muy pequeño). La variable de salida del sistema deberá ser bien visible, para poder ser fácilmente registrada en un video para poder ser luego registrada en un gráfico tiempo-variable a partir del examen fotograma a fotograma de la película.
- El sistema diseñado debe contar con elementos de referencia para poder hacer las medidas. Por ejemplo, una regla si la salida del sistema es un desplazamiento lineal (ej. un sistema masa-muelle lineal), o un transportador de ángulos si la salida es un ángulo (ej. un péndulo). También puede imprimirse una hoja de papel con marcas "a medida" y hacer evolucionar el sistema con el papel al lado. Para tener una referencia temporal es útil incorporar a la escena un cronómetro (fácil de encontrar en un reloj de pulsera, un móvil, etc.).
- Puede ser también interesante utilizar algún tipo de soporte (pizarra de corcho, atril, etc.).
Obtener un video con una webcam
Una vez construido, los alumnos deberán filmar un vídeo del sistema en funcionamiento. Es muy importante preparar bien el vídeo para que el registro de los datos sea lo más fiel posible. Algunas recomendaciones:
- Tener buena iluminación, evitar reflejos, etc.
- Orientar correctamente la cámara. Nótese que, por ejemplo, una perspectiva oblicua puede distorsionar la medida de los ángulos.
- Intentar que el sistema ocupe la mayor parte de la imagen. Con esto se aprovecha al máximo la resolución de la webcam, mejorando la precisión de las medidas.
- Aunque muchos reproductores de video incorporan el instante de tiempo de cada fotograma, muchos marcan sólo los segundos, y no las décimas o las centésimas. Puede ser interesante incorporar un reloj con cronómetro a la escena, de manera que para cada fotograma siempre exista una referencia temporal del momento en el que se tomó.
Toma de datos a partir del vídeo
Una vez grabado el vídeo, los alumnos lo reproducirán fotograma a fotograma. Si el video está bien pensado cada fotograma i contendrá la siguiente información
- Instante de tiempo al que corresponde, ti. El instante de tiempo puede obtenerse, bien del propio reproductor, o bien de un reloj-cronómetro que haya podido añadirse a la escena.
- Valor de la variable de salida yi. Si en el video se ha incluido algún elemento de referencia (una regla, un papel impreso milimetrado o con marcas angulares...) será posible obtener a partir de la imagen el valor de la salida (posición, angulo,...).
Con la información que dan las variables (ti,yi), es ya posible obtener un gráfico, bien en papel o mejor aún en el PC. Con Matlab es muy fácil hacer una gráfica a partir de los datos:
figure(1);
t_i = [0.11 0.21 0.32 0.44 0.56 0.63 0.73 0.82 0.93 1.01 1.12],
y_i = [1.52 1.15 0.85 0.66 0.53 0.41 0.31 0.22 0.16 0.12 0.1],
plot(t_i,y_i,'b.-');
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Posición (cm)');
title('Evolución temporal de la posición')
grid on;
Obtención del modelo matemático aproximado
Una vez obtenida la gráfica se procederá a obtener un modelo matemático aproximado. En primer lugar se determinará el orden del modelo que mejor defina al sistema (primer o segundo orden). El orden puede conocerse directamente, si se conocen las ecuaciones. Si no se conoce el orden, puede hacerse una conjetura a partir del aspecto de la señal temporal (ej. si tiene oscilaciones, elegir un segundo orden) y tratar de ajustarlo.
Elegido el orden, se comparará la respuesta del sistema con la respuesta teórica del modelo elegido ante el mismo tipo de excitación. Para ello se mide sobre la gráfica experimental los parámetros característicos de la gráfica teórica y a partir de ellos se obtiene la función de transferencia. Para el caso de una excitación de tipo escalón, por ejemplo
- Sistema de primer orden
Basta con medir la ganancia K y la constante de tiempo T y cotejar la respuesta al escalón experimental con la teórica según la siguiente figura
- Sistema de segundo orden
Midiendo sobre la gráfica la sobreoscilación Mp el tiempo de pico tp y la ganancia estática del sistema K es posible identificarlo cotejando la respuesta experimental con la teórica según la figura adjunta
Validación del modelo obtenido con los datos experimentales
Una vez obtenido el modelo es interesante validarlo con los datos experimentales. La idea consiste en simular el modelo obtenido en las mismas condiciones a las que fue obtenido el sistema y comparar ambas respuestas. Si los datos experimentales han sido introducidos en variables de Matlab, es muy fácil cotejar ambas respuestas superponiéndolos en la misma figura.
figure(1);
t_i = [0.11 0.21 0.32 0.44 0.56 0.63 0.73 0.82 0.93 1.01 1.12],
y_i = [1.52 1.15 0.85 0.66 0.53 0.41 0.31 0.22 0.16 0.12 0.1],
num = 0.6;
den = [0.4 1];
t = linspace(0,2,1000);
y = impulse(num,den,t)';
plot(t_i,y_i,'.-',t+0.1,y);
legend('Datos experimentales','Modelo');
grid on;
Tareas a realizar
- Antes de la práctica
Los alumnos deberán elegir, diseñar y probar sus prototipos. Esto incluye también la elaboración de un patrón de referencia (con ángulos o con marcas milimetradas, según proceda) que permita medir sobre la imagen del vídeo. Opcionalmente, pueden probar libremente sus diseños haciendo capturas de vídeo en la sala de prácticas 2.1.17, en horas en las que ésta no esté ocupada.
- El día de la práctica
El día de la práctica, los alumnos vendrán con su prototipo y si no lo han hecho antes, capturarán el vídeo. A partir de éste, obtendrán las medidas experimentales, elaborarán la gráfica a mano o, mejor aún, mediante Matlab y harán los cálculos para ajustar el modelo. Finalmente, simularán el modelo y cotejarán los resultados de la simulación con los experimentales.
- Después de la práctica
Antes de la fecha límite, los alumnos, por grupos deberán entregar un documento de no más de 5 páginas que resuma todo el proceso, incluyendo:
- Descripción del prototipo desarrollado. Explicar cómo se construyó (materiales y métodos) y, a ser posible, las ecuaciones físicas que describen el comportamiento del sistema
- Datos experimentales. Incluir los datos experimentales obtenidos mediante una tabla y/o una gráfica obtenida a partir de los datos experimentales tomados a partir del vídeo, así como los parámetros que se han medido sobre ésta para ajustar el modelo
- Obtención del modelo aproximado, incluyendo una justificación (dos o tres líneas) de la elección del tipo de modelo (primer o segundo orden) y los cálculos realizados para la obtención de la función de transferencia
- Simulación del modelo. Incluir aquí una gráfica temporal obtenida a partir de la simulación del modelo aproximado en condiciones similares a las del experimento.
Bibliografía y enlaces
- Franklin et al. Feedback Control of Dynamic Systems, 5º edición. Ed. Prentice Hall, ver Sección 3.8 (pp. 139-141) "Obtaining Models from Experimental Data"
- Cursos abiertos del MIT (Massachussets Institute of Technology).
